> 一つ一つのページを確認していくと
> チェックする商品が多いので、時間がかかってしまいます。
> セラーセントラルのデータなどを使って
> カート獲得しているかの確認を簡易的に行える方法などはございますか？

カードボックスを確認する方法はビジネスレポートにて可能となっております。

セラーセントラル > ビジネスレポート > ASIN別 > 詳細ページ 売上・トラフィック
https://sellercentral.amazon.co.jp/business-reports/ref=xx_sitemetric_dnav_xx#/report

にございます、「おすすめ商品(ショッピングカートボックス)の割合」が
カートボックスの獲得率となっておりますので
こちらをご参照くださいませ。